トポロジーとはなにか
円板
円板を考える
- 円板の周囲の円周を含む-> 閉領域
- 円板の周囲の円周を含まない-> 開領域
- 多辺形，凹形板，円錐面，半球面，穴開き球面はすべて円板と同相な面．
- 円錐側面は同相．円柱側面は同相ではない．
- 円板と位相が同じ図形では，オイラーの標数
v - e + fが1になる
ホモローグ
一つの円板面にマルを描く．このマルをどんどん小さくしていくと最後には点になる．
- このように面の上に描いた円周Sが1点二縮小できるとき，Sは0にホモローグであるといい，
S ~ 0と書く．円板と位相が同じ図形の面上に描かれた閉曲線はすべて0にホモローグ． - 円柱の側面には0にホモローグではない円周が存在する
- 円柱の側面には複数の円周を描くことができるが，それらは互いにホモローグであるが，いずれも0にホモローグではない．
- トポロジーはある空間のベッチ数はいくつか，その空間には互いにホモローグでない図形がいく通り存在するか，ということに関心がある．
- 円柱の側面には複数の円周を描くことができるが，それらは互いにホモローグであるが，いずれも0にホモローグではない．
アニュラス
- 穴開き円板(内外の縁を含む=閉領域)を考える．この形をアニュラスと呼ぶ
ホモロジー群
- 2つ穴の円板を考える
- 0とホモローグなマルが1種類，0とホモローグではないマルが3種類できる(各穴を囲む円と，2つの穴を囲む円)
- これらをS_0, S_1, S_2, S_3として，これらは群を形成する．ホモロジー群と呼ぶ
- 0とホモローグなマルが1種類，0とホモローグではないマルが3種類できる(各穴を囲む円と，2つの穴を囲む円)
ホモトピー形
- 4つ穴の円板を簡略化していくと田んぼの「田」になる．位相が異なるが，一次元ベッチ数の問題に関しては同じと見て良い．このときの4つ穴の円板と「田」は同じホモトピー形であるという．
トポロジーとはなにか
1対1の対応
- 2つの空間(線・面・立体でも何でも良い)RとR'があって，どちらも点の集合と考える．R内の任意の1点(P点とする)にちょうど当てはまる点がR'の中にあって，これをQ点とする．Qに当てはまるR内の点を探すとPとなっている．
- 「当てはまる」というのはどんな意味でも構わない．何らかの取り決めによって当てはまることを指す．
空間の連続性
- Pに十分近い，小範囲の点集合がいつも存在し，これをU(P)とする．U(P)に同じ取り決めで当てはまる小領域がQの周りにあって，これをU'(Q)とかく．このときU(P)内の点とU'(P)内の点がそれぞれ相互に，同じ取り決めで当てはまっているとき，RとR'を位相が等しいという．
同相写像
ゴム膜に描いた図形の変形や，射影(投影)による変形は位相を不変に保つ．そのような変形を一般に同相写像という．
ややこしい点
